变量释义与维度空间
圆内接凸四边形
四边形的两条对角线长
四边形依次的四条边长
取等条件 / 核心注记： 等号成立充要条件为四点共圆；非圆内接四边形严格小于（托勒密不等式）。
梅涅劳斯定理（Menelaus' Theorem）
变量释义与维度空间
截线在三角形三边所在直线上的截点
基准三角形
取等条件 / 核心注记： 线段长度均为有向线段比值；三点共线的常用判据。
变量释义与维度空间
平面内任意点
点 P 到圆心 O 的距离 $|PO|$
圆的半径
取等条件 / 核心注记： 圆外为正，圆上为零，圆内为负；方向相反时有向线段积为负。
变量释义与维度空间
两个相异的基准圆
根轴上的任意动点
取等条件 / 核心注记： 轨迹方程为一次方程，必定垂直于连心线 $O_1O_2$。
变量释义与维度空间
塞瓦线在对边上的交点
基准三角形
取等条件 / 核心注记： 边元形式适合长度比例；角元形式适合三角角度推导。
变量释义与维度空间
三角形外接圆圆心（原点）
三角形垂心
三角形重心
取等条件 / 核心注记： 垂心与外心向量和定理，直接确立 $H, G, O$ 共线且 $HG:GO = 2:1$。
变量释义与维度空间
被分割线段的两个端点
线段 AB 的中点
调和共轭分割点
取等条件 / 核心注记： 是证明线段中点乘积或圆幂相等的常用工具。
变量释义与维度空间
圆外极点
割线 AB 与极线的交点
割线与圆的两个交点
取等条件 / 核心注记： 割线与极线交点构成的调和比值为 -1。
鸡爪定理（Factored Incenter/Excenter）
变量释义与维度空间
外接圆弧 BC 的中点
三角形内心
A 对应的旁心
取等条件 / 核心注记： 弧中点到两顶点、内心、旁心四点距离相等。
变量释义与维度空间
外心到内心的距离
外接圆半径
内切圆半径
取等条件 / 核心注记： 等号成立充要条件为三角形为正三角形。
取等条件 / 核心注记： 等号成立充要条件是各比值 $x_i / a_i$ 相等。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz）
取等条件 / 核心注记： 取等条件：向量 $(a_1,\dots,a_n)$ 与 $(b_1,\dots,b_n)$ 线性相关。
取等条件 / 核心注记： 取等条件当且仅当所有项 $a_1 = a_2 = \dots = a_n$。
变量释义与维度空间
乘积为 1 的正实数
任意正实数自由参数
取等条件 / 核心注记： 代换后自动满足 $abc=1$，将乘积约束化为自由变量代数式。
取等条件 / 核心注记： 处理三次齐次项与两两对称积的重要不等式。
变量释义与维度空间
单调递增的实数序列
序列 b 的任意随机排列
取等条件 / 核心注记： 反序和最小，同序和最大，任意乱序和居于其间。
变量释义与维度空间
在定义域内凸的单变量函数
预判的极值取等中心点
取等条件 / 核心注记： 只需作差证明 $(x - x_0)^2 \cdot g(x) \ge 0$ 即可确定全局下界。
变量释义与维度空间
关于 a, b, c 的对称系数式
正实数变量
取等条件 / 核心注记： 当系数满足 SOS 判定准则（$S_a+S_b>0$ 等）时保证全非负；该准则与 Schur 不等式无直接关系。
变量释义与维度空间
一次和 $x+y+z$
两两乘积和 $xy+yz+zx$
三项乘积 $xyz$
取等条件 / 核心注记： 高联二试将对称多项式降维为初等基底的核心公式。
变量释义与维度空间
由初值确定的基准常数 $f(1)$
有理数自变量
取等条件 / 核心注记： 若附加连续性、单调性或局部有界性，则解在全体实数 $\mathbb{R}$ 上唯一为 $f(x)=cx$。
取等条件 / 核心注记： 互质等价于存在整数组合使得 $ax + by = 1$。
变量释义与维度空间
两两互质的模数序列
除去当前模数后的外积 $M / m_i$
逆元项满足 $M_i M_i^{-1} \equiv 1 \pmod{m_i}$
取等条件 / 核心注记： 古典数论最辉煌的构造性定理，将多元同余独立化。
欧拉定理（Euler's Totient Theorem）
变量释义与维度空间
与模数互质的底数
任意正整数模数
欧拉函数值
取等条件 / 核心注记： 当 $m$ 为素数时 $\phi(m)=m-1$，欧拉定理退化为费马小定理。
取等条件 / 核心注记： 初等数论中极为罕见的充要素数判别定理。
变量释义与维度空间
佩尔方程 $x^2 - dy^2 = 1$ 的基本正整数解
非完全平方正整数
第 n 组正整数解
取等条件 / 核心注记： 基本解可通过连分数展开渐近分数求得；全体正整数解按乘法构成循环群，加上负号后的全体整数解为 $\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}$ 型结构。
取等条件 / 核心注记： 无需每次展开高次二项式，两步加法递推即出下一组大数解。
变量释义与维度空间
与素数 p 互质的整数
奇素数
取等条件 / 核心注记： 值为 1 表示有整数平方解，值为 -1 表示无解。
高斯二次互反律（Quadratic Reciprocity）
取等条件 / 核心注记： 仅当两个素数均形如 $4k+3$ 时互反符号取负，其余情况相等。
变量释义与维度空间
奇素数
满足 $p \mid (a-b)$ 的底数
任意正整数
取等条件 / 核心注记： 二试数论指数型整除最快公式，直接省去繁琐的二项式展开归纳。
取等条件 / 核心注记： 反证法：若所有抽屉均小于该值，则总和严格小于 $n$，产生矛盾。
厄多斯-塞克雷斯定理（Erdős–Szekeres）
取等条件 / 核心注记： 组合数学最经典的存在性定理之一，完全基于抽屉原理构造。
变量释义与维度空间
包含全体样本的全集
具有第 i 种属性的子集合
取等条件 / 核心注记： 奇数个相交取负，偶数个相交取正，正负交错抵消。
变量释义与维度空间
排列的元素个数
无任何元素在原位的错排方案数
取等条件 / 核心注记： 极限比值 $D_n / n! \to 1/e \approx 0.367879$。
变量释义与维度空间
图的全体顶点集合
图的全体边集合
取等条件 / 核心注记： 奇数度顶点的个数必定是偶数，图论存在性证明基石。
取等条件 / 核心注记： 平面图欧拉公式 $V - E + F = 2$ 的无面退化特例。
曼特尔定理（Mantel's Theorem，无三角形极值）
取等条件 / 核心注记： 等号当且仅当图为完全二分图 $K_{\lfloor n/2 \rfloor, \lceil n/2 \rceil}$ 时取得。
取等条件 / 核心注记： 由此可推导出二项式上界 $R(k, l) \le \binom{k + l - 2}{k - 1}$。
变量释义与维度空间
第 t 步系统的离散状态
状态特征不变量函数
取等条件 / 核心注记： 证明状态不可达性的重要方法，借助同余与奇偶性排除无效状态。
取等条件 / 核心注记： 势能严格递减且取整值（或状态空间有限）时，由良序原理保证有限终止；仅"严格递减且有下界"（实值）并不充分。
取等条件 / 核心注记： 等号均在 $x=1$（或 $x=0$）处取得，2024压轴导数放缩基础。
取等条件 / 核心注记： 阅卷给分点，写出即锁定该题基础步骤分。
对数平均不等式（Logarithmic Mean）
取等条件 / 核心注记： 极值点偏移常用放缩工具，架起对数差与算术几何均值的桥梁。
变量释义与维度空间
抛物线弦两端点纵坐标
抛物线焦准距
取等条件 / 核心注记： 切线交点与弦端点构成的极值三角形面积标准式。
变量释义与维度空间
双曲线离心率
渐近线与实轴夹角
取等条件 / 核心注记： 渐近线夹角决定离心率，离心率决定双曲线张角。
变量释义与维度空间
两平面的法向量
二面角的平面角
取等条件 / 核心注记： 必须配合几何图形观察钝角还是锐角确定正负号。
变量释义与维度空间
四面体三组相等的对棱长
外接球的表面积
取等条件 / 核心注记： 长方体面对角线平方和直接除以 2 再乘圆周率 $\pi$。
取等条件 / 核心注记： 完全与弦的倾斜角无关的定值恒等式。
变量释义与维度空间
区间 $[0,\pi/2]$ 内的角
取等条件 / 核心注记： 2025 一试第 11 题关键放缩：$\sin x$ 上凸，其图象在连接 $(0,0)$ 与 $(\pi/2,1)$ 的弦上方。
取等条件 / 核心注记： 2025 一试第 9 题以参数式将中点与点积条件代数化。
变量释义与维度空间
外接单位圆上三角形三顶点的复数坐标
取等条件 / 核心注记： 二试复数坐标法的代数恒等关系。
变量释义与维度空间
切点弦 EF 与底边 BC 的交点
内切圆在 BC 上的切点
取等条件 / 核心注记： 内切圆切点弦与底边相交必产生经典调和点列比。
取等条件 / 核心注记： 巧妙翻转分母不等式方向，将求和下界转化为求和上界。
取等条件 / 核心注记： 利用复数坐标证明三点共线的充要条件。
取等条件 / 核心注记： 二试代数题出现频率最高的分式化简结构。
取等条件 / 核心注记： 必含二重零点 $(x-x_0)^2$，只需证明 $g(x) \ge 0$。
变量释义与维度空间
$m$ 的 $p$-进赋值（质因子 $p$ 的最高幂次）
奇素数
取等条件 / 核心注记： 处理指数型丢番图方程与整除性问题的有效工具；使用前须完整陈述前置条件。
变量释义与维度空间
$n$ 的最小素因子
待研究的合成数
取等条件 / 核心注记： 结合费马小定理与同余阶，利用 $\text{ord}_p(a) \mid \gcd(p-1, n)$ 导出关键结论。
变量释义与维度空间
子集族中的第 $i$ 个集合
元素 $x$ 所属于的集合个数（度数）
取等条件 / 核心注记： 二试组合算两次大题的标准推导起点。
变量释义与维度空间
第 $t$ 次操作后的系统势能
最大操作终止步数
取等条件 / 核心注记： 证明博弈与动态变换必在有限步内终止，需要"单调递减 + 取值离散（或状态有限）"双条件。
变量释义与维度空间
被删数码的位权
被删数码的值
被删位上方的整数
取等条件 / 核心注记： 2025 二试第 3 题的关键翻译：$n\mid N$ 与 $n\mid N'$ 推出 $n\mid 10^p(9A+i)$。
取等条件 / 核心注记： 2025 二试第 4 题：公共约数个数即 $\tau(\gcd)$，配合指数向量商公式化为数论极值。
变量释义与维度空间
第一条对称轴横坐标
第二条对称轴横坐标
函数的基本正周期
取等条件 / 核心注记： 若一个对称轴和一个对称中心，则最小正周期扩大为 4 倍距离。
变量释义与维度空间
方程 cx^2 + (d-a)x - b = 0 的两相异不动点
递推数列第 n 项
取等条件 / 核心注记： 若只有单重不动点，则倒数差为等差数列。
变量释义与维度空间
多项式全部根的 k 次方和 $\sum$ x_i^k
多项式展开系数
取等条件 / 核心注记： 用于在 1 分钟内算出方程根的 4 次方、5 次方和，无需真正解方程。
变量释义与维度空间
分式函数的目标值
分子分母二次多项式系数
取等条件 / 核心注记： 解关于 y 的一元二次不等式直接获得值域区间。
取等条件 / 核心注记： 由 (c - a) = (b - a) e^{±i π/3} 两边平方化简所得。
取等条件 / 核心注记： 最大值为 $\sqrt{a^2+b^2}$，最小值为 -$\sqrt{a^2+b^2}$。
变量释义与维度空间
三角形三边长
半周长 (a+b+c)/2
三角形面积
取等条件 / 核心注记： 已知三边长求面积最快公式，由 $S = abc/(4R)$ 可直接得出外接圆半径 R = abc / (4S)。
变量释义与维度空间
线段 BC 的中点
平面内任意动点
动点 P 到中点 M 的欧氏距离
取等条件 / 核心注记： 求向量点积的最大/最小值直接等价于求动点 P 到定中点 M 的最大/最小距离平方。
变量释义与维度空间
点 P 与对边围成的三角形面积
点 P 指向三顶点的向量
取等条件 / 核心注记： 系数直接反映三个子三角形的面积比值。
变量释义与维度空间
外接圆圆心 (外心)
三高交点 (垂心)
取等条件 / 核心注记： 结合重心公式 $\vec{OG}$ = ($\vec{OA}$+$\vec{OB}$+$\vec{OC}$)/3，导出 $\vec{OH}$ = 3$\vec{OG}$。
变量释义与维度空间
斐波那契数列第 n 项
黄金比约为 1.618
取等条件 / 核心注记： 由特征方程 λ² - λ - 1 = 0 的两共轭特征根线性叠加求得。
变量释义与维度空间
任意两离散实数数列
数列 a_k 的前 k 项部分和
取等条件 / 核心注记： 离散世界里的分部积分公式，拆解复合积式求和。
取等条件 / 核心注记： 由 1/√n = 2/(√n + √n) < 2/(√n + √(n-1)) 有理化直接导出。
变量释义与维度空间
整系数递推数列第 n 项
正整数模数
模 m 的皮萨诺周期
取等条件 / 核心注记： 鸽巢原理：两项余数对 (a_n mod m, a_{n+1} mod m) 至多 m² 种，必出现重复形成循环。
变量释义与维度空间
焦点弦被焦点分割的两段焦半径长
圆锥曲线半通径长（焦准距乘以 $e$）
椭圆/双曲线的半长轴与半短轴
取等条件 / 核心注记： 对椭圆、双曲线（同枝焦点弦）与抛物线均成立，与倾斜角无关；$p$ 为半通径（椭圆、双曲线 $p = b^2/a$；抛物线 $y^2 = 2px$ 中 $p$ 即参数）。注意：双曲线过焦点而穿过两枝的弦不满足此式（该情形须分端计算）。
变量释义与维度空间
弦端点横坐标
焦点弦倾斜角（$\theta \neq 0$）
抛物线焦准距
取等条件 / 核心注记： 当 $\theta = 90^\circ$ 时取得最小弦长即通径 $2p$。
变量释义与维度空间
弦 AB 的斜率
原点与弦中点连线的斜率 $y_0/x_0$
椭圆长半轴与短半轴
取等条件 / 核心注记： 对于双曲线公式变为 $k_{AB} \cdot k_{OM} = \frac{b^2}{a^2}$；两斜率符号相反必互为共轭方向。
变量释义与维度空间
直线斜率（若用横坐标形式）
联立一元二次方程判别式 $B^2 - 4AC$
二次项系数
取等条件 / 核心注记： 采用 $x = my + t$ 形式时对应 $|AB| = \sqrt{1 + m^2}\frac{\sqrt{\Delta}}{|A|}$。
变量释义与维度空间
椭圆半长轴与半短轴
椭圆离心角（辅助圆极角）
取等条件 / 核心注记： 任意点在椭圆上等价于存在唯一离心角 $\theta$ 满足此方程。
取等条件 / 核心注记： 参数化消灭根号，极大简化高阶交点计算。
变量释义与维度空间
极点坐标（可在椭圆内、上、外）
椭圆半轴长
取等条件 / 核心注记： 极点在椭圆上即为切线；极点在椭圆外即为切点弦；极点在无穷远即为直径方向。
变量释义与维度空间
对称顶点 $(\pm a, 0)$
曲线上任意非顶点动点
取等条件 / 核心注记： 可作为小题速解公式，解答题需完整书写坐标推导过程。
变量释义与维度空间
平面 $\alpha$ 的垂线段
斜线 $PA$ 在平面 $\alpha$ 内的射影
平面 $\alpha$ 内的任意直线
取等条件 / 核心注记： 射影垂直等价于斜线垂直，是构造空间直角三角形二面角的基础。
变量释义与维度空间
两异面直线的公垂线段长
两点分别到公垂线垂足的距离
两异面直线所成的角
取等条件 / 核心注记： 其中 $l$ 为公垂线段长，$\theta$ 为两直线所成角（$0 < \theta \le 90^\circ$），$\pm$ 号对应两垂足在公垂线同侧（取 $-$）或异侧（取 $+$）。
变量释义与维度空间
从面内任意已知点 A 指向点 P 的向量
平面的任意非零法向量
取等条件 / 核心注记： 本质是向量在法向量方向上的标量投影绝对值。
变量释义与维度空间
两半平面的法向量
二面角平面角
取等条件 / 核心注记： 钝锐判定：结合立体几何直观观察图形是锐二面角还是钝二面角以确定正负号。
变量释义与维度空间
四面体三组相等的对棱长
四面体外接球半径
取等条件 / 核心注记： 利用长方体对角线公式将对棱长平方和开方除以 $2\sqrt{2}$ 即可得出外接球半径。
变量释义与维度空间
多面体的总体积
多面体所有表面积之和
取等条件 / 核心注记： 等体积分解法，适用于任意存在内切球的空间凸多面体。
变量释义与维度空间
底数整数（$a \ge 2$）
两指数项
取等条件 / 核心注记： 数论竞赛经典常考公式，化大指数公约数为指数的欧几里得辗转相除。
取等条件 / 核心注记： 奇数的平方模 8 恒余 1；偶数的平方模 8 只能余 0 或 4。
变量释义与维度空间
阶乘数
质因子基数
整数 $n$ 在 $p$ 进制展开下的各位数字之和
取等条件 / 核心注记： 可直接使用 $p$ 进制数字和快速计算，无需逐层累加除法。
取等条件 / 核心注记： 高斯取整函数最重要的分析恒等式之一。
变量释义与维度空间
分配的相同元素总数
不同的盒子/变量个数
取等条件 / 核心注记： 相当于求方程 $x_1 + x_2 + \dots + x_m = n$ 的非负整数解个数。
取等条件 / 核心注记： 对 $(1+x)^n$ 关于 $x$ 求导后令 $x=1$ 得出的著名恒等式。